1. 微分方程理论、数值计算及其应用

本方向主要针对不同领域里的具体实际问题，应用数学理论以及问题的背景建立模型、作出模型的定性方面的分析、给出具体的数值求解与数值模拟过程，最终利用所得到的理论以及数值方法对于实际问题进行指导。在国防、航空航天、能源、海洋、流体传动与控制、流体机械、化工、工程科学、材料科学、复杂材料等高科技领域有重要的理论意义、实用价值和广泛的应用前景。主要研究方向包括：

（1）偏微分方程理论及其应用：研究描述自然现象的微分方程的性质和随时间演化的动力学行为。研究由微分方程描述的连续运动和映射迭代描述的离散运动都是现代动力系统的重要课题。主要研究包括随机动力系统的随机渐进性和统计特性、随机分支理论、耗散性无穷维动力系统、生物动力学模型、金融经济动力学模型、时滞微分方程与动力系统等的稳定性等问题。

（2）可积系统及其应用：针对一类特殊的数学物理系统，能够通过解析或代数方法找到其精确解。这类系统具有守恒律、对称性和完全可解等特性，因此在数学、物理学和工程领域有着广泛的应用。可积系统还与李代数、Poisson 括号等数学概念有着密切联系，通过引入这些工具，可以进一步揭示系统的性质。在物理学中，可积系统被用于描述晶格振动、电子输运等现象，为固体物理学提供了重要的理论支持。

（3）积分微分方程高精度数值算法：针对许多实际问题中的积分微分方程，基于有限差分、有限元方法等，系统研究相应的自适应网格算法，并分析算法的稳定性和收敛性。同时，针对积分方程，重点研究小波快速算法。

2. 代数及组合数学相关问题研究

本方向主要包括： 

（1）组合数论中的零和理论方向：组合数论主要研究有组合性质的数论问题。其中的零和方向起源之一为代数整数环中的非唯一分解性质。零和理论主要研究群上的零和序列和极小零和序列的性质，包括如何刻画这些零和序列的结构以及计算相关的零和常数。该理论在图论，编码理论中有所应用。

（2）代数与图的结合：包括代数结构如群，环上的离散动力系统的研究，主要目的是刻画该动力系统的周期点的性质，包括周期的长度，不动点的刻画等等。该方向在信息科学，控制论，生物数学中有重要应用。

（3）图的连通性的研究，此方向在大型集成电路研究中有重要应用，包括交换代数，代数数论，组合数学，图论，拓扑学等等。

3. 人工智能的数学方法及其应用

本方向主要包括：

（1）基于人工智能的智能决策数学理论与算法：针对智能决策中的粗糙集理论以及数据的代数拓扑结构，分析其代数结构与拓扑结构的深层关系及广义度量空间性质，为智能决策提供理论基础和数值算法。

（2）群智能驱动的优化方法及组合优化的机器学习方法：针对难以建立数学优化模型的优化问题，构建自然计算驱动的智能优化算法。对于传统数学方法难以解决的问题，将其转化为优化问题，利用群智能优化算法进行求解。针对各类组合优化问题，分析其拓扑结构并研究各种不同的高效组合优化算法。

（3）深度学习模型的优化与应用：对深度学习模型中的优化算法进行研究，改进深度学习模型；基于数学理论分析结果，设计高效的深度学习模型，并应用于图像处理、智能推荐系统、生物医药智能分析等领域。